следующая тема »

[Виталий К.]

Уважаемый Urix,

>Аксиома - истина, не требующая доказательства
>Истина сама по себе не требует доказательства. Истина >она и есть истина. Ее доказать нельзя.

Или Вы невнимательно меня прочитали или я неясно выразился. Если мы говорим "требует - не требует доказательств", то это применимо только к суждениям, но не к понятиям самим. Нельзя сказать, что понятие может требовать или не требовать доказательство. Поэтому слова "не требующая доказательств" прямо указывают на то что аксиома - это суждение. Впрочем, это уже давно не вызывает споров (кроме, конечно, у Вас).

Да, попутно... Выражение "истина не требует доказательства" не совсем корректно. Любое суждение может быть либо ложным либо истинным, но доказывать не требуется только ограниченное количество, где истинность очевидна. В остальных случаяъ Вам придется доказать истинность суждения.

>Прочитайте эти аксиомы - их не так уж много, и в их >составе Вы не найдете всех многочисленных понятий >геометрии данных в качестве аксиом
>В том числе и понятий точки, прямой, плоскости и т.д.?

Да, именно так. Прочитайте, что я написал "понятий в качестве аксиом", а не понятий в составе аксиом. Или у Вас особое понимание термина "понятие" также?
Что спорить, давайте их приведем и все. У меня нет на работе под рукой учебника геометрии, поэтому, пожалуйста, поправьте меня и дополните: 1. Через две точки можно провести прямую 2. Все прямые углы равны между собой 3. Через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной....
Где тут аксиома понятия точки, аксиома понятия прямой, аксиома понятия плоскости про которые Вы говорите? Есть суждения, основанные на понятиях (сами понятия ни Евклид, ни его последователями аксиомами не называли) относительно которых можно говорить об их истинности или неистинности.

>Извините... Аксиома - это положение (определение, >описание, факт, свойство и т.д.) которое принимается без >доказательства. Как некая данность. И не более того.

Что Вы, откуда Вы это взяли? Определение может быть аксиомой, если оно выражено в виде суждения (об этом мы уже говорили). Описание - смотря что Вы подразумеваете под описанием. Факт аксиомой быть не может, аксиомой может быть суждение о факте. Свойство (теплота, масса...) аксиомой быть не может.

Мне кажется я понял в чем проблема нашей дискуссии: Вы путаете явления объективного мира (которые доказывать или не доказывать невозможно) с суждениями о них (которые могут быть истинными и ложными и которые можно доказывать или не доказывать). Понятия доказывания, истинности и неистинности неприменимы к любым явлениям объективного мира.

>если определенные общественные отношения являются >правоотношения, это значит, что они уже урегулированы >правом
>Вот видите. Еще одна аксиома. Я раньше про нее не знал (вернее, как-то не учитывал). Так и с логикой высказываний, >но уже со стлроны юристов.

Чего то у Вас путаница с юридическими понятиями. Мы называем правоотношениями общественные отношения, урегулированные правом, поэтому еще раз регулировать их правом бессмысленно. При чем тут аксиома? Признайте, просто, что Вы не знали значения термина "правоотношение" и применяли его неправильно.

>Простите мне такую маленькую "подставку", из области >социальной инженерии, я пытался из Вас  выманить >примерно такой ответ.

В чем тут подстава? В том, что Вы подменяте значения терминов выдуманными Вами?

>>Все что может быть опровергнуто (а любая презумпция >>может быть опровергнута по определению), не может >>быть аксиомой
>Отлично. Но тогда надо выявить те аксиомы, на которых >она базируется. Иначе она становится сама аксиомой.

Мне трудно спорить с высказываниями, если Вы, похоже, их сами не очень осознали. Ваша фраза значит, что если какое-то предположение (презумпция) не базируется на аксиомах, то оно становится аксиомой. Я предполагаю, что у Вас три руки, это предположение не основано ни на какой аксиоме, значит само это предположение становится аксиомой. Я думаю, Вы имели в виду нечто другое, но не заставляйте меня (пожалуйста!) еще додумывать Ваши высказывания за Вас.

Ну ладно, пойду домой.

P.S. Должен сразу извиниться, если в выходные не найду времени зайти на сайт - довольно напряженно сейчас со временем.

Приятных выходных всем участникам дискуссии.

[Urix]

Виталий! Окститесь!!!
Суждение - это точка зрения некоего индивидуума, высказанная в некоей форме. Т.е., явление чисто субъективное. Аксиомы же - гораздо более широкое понятие и может в себя включать как субъективные суждения, так и суждения (констатации фактов) об объективных явлениях. Если считать аксиомы только суждениями.
По этой причине, заметьте, я нигде, давая определение аксиомы, не говорил "требующая". Я говорил: Аксиома - положение, которое принимается без доказательства. Не суждение (оно субъективно), не факт (он объективен), не определение (это абстракция), а все это вместе может быть аксомами. Естественно, не только одной большой аксиомой, как материя, но и маленькими, такими, как понятие точки (то, что не имеет ни длины, ширины по Эвклиду).

Если в качестве основы построения системы выбирается один набор аксиом, получается одна система, если заменить хотя бы одну аксиому, то получается система с совсем другими свойствами. Яркий пример этому геометрии Эвклида и Лобачевского. Заменена одна аксиома (пятый постулат) и получилась геометрия с совсем иными свойствами. Пятый постулат Эвклида: через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллелльную данной. У Лобачевского: через точку вне прямой можно провести хотя бы две прямые, не пересекающие данную.
И где здесь Вы видите суждение? Конечно, сами по себе эти высказывания можно назвать суждениями. Но по отношению к остальным высказываниям геометрий они являются аксиомами, т.е. положениями, которые принимаются без доказательства.
Возможно, что Вас сбивает возможность изменения набора аксиом при построении системы высказываний.
И еще, возьмем, например, понятие истина. Попробуйте дать ему определение.

Свойство (теплота, масса...) аксиомой быть не может

Если масса не является аксиомой, значит она является теоремой и выводится из более первичных понятий. Если энергия не является аксиомой, значит и она является теоремой. Отсюда следует, что есть "нечто", на основании которого делаются выводы о том, что такое масса и энергия. Расскажите мне, а что же это такое это "нечто"? И дайте определения на основе этого "нечто" массе и энергии. Я это прошу не из праздного любопытства.

Вы путаете явления объективного мира (которые доказывать или не доказывать невозможно) с суждениями о них (которые могут быть истинными и ложными и которые можно доказывать или не доказывать)

Я их не путаю. Явления объективного мира - это и есть аксиомы для системы суждений об этих явлениях, ибо система суждений (высказываний) опирается на факты и явления объективного мира. Она может противоречить объективному миру, если какие-то суждения не соответствуют логике этих явлений (объективным законам объективного мира). Например, Земля твердая, плоская и покоится на трех китах. Твердая - да, а вот по поводу остального... Ибо остальное - это следствие субъективного суждения о "плоскости" Земли. Но достаточно взять в качестве аксиомы вместо субъективного суждения объективный факт (сферическая форма Земли) и киты сразу исчезли. Следовательно, неверная система суждений была основана на использовании суждения вместо знания. Но и "суждение" в неверной системе высказываний и "знание" в уточненной являются аксиомами для всех остальных высказываний в этих различных системах суждений о мироздании. Это классический пример аксиом и постороения систем высказываний на их основе.

В чем тут подстава? В том, что Вы подменяте значения терминов выдуманными Вами?

Нет. В том, что Вы должны были собязательно среагировать определенным образом на неточность в высказывании. Причину прогноза (не вдаваясь в детали) Вашей реакции я постараюсь объяснить после того, как дам опреление понятия интеллект на основе расширенного (модифицированного мной) понятия "автомат" в применении к человеческому мозгу. А заодно дам определения тривиальности/нетривиальности алгоритмов и творчества.

[Виталий К.]

То что Вы тут намешали можно объяснить только концом тяжелой рабочей недели. Мне трудно с Вами спорить, Urix, если Вы никак не прочтете хотя бы самы элементарный учебник по логике. Ну ладно, идя Вам навстречу в своей библиотеке я разыскал учебник по логике для философского факультета университета. Давайте проведем небольшой ликбез. Как вижу, у Вас самые большие сложности с суждением. Ему и уделим основное внимание, не забывая про остальное. Цитаты из учебника буду давать в кавычках (если понадобится, могу указать и страницы, но думаю, в этом необходимости нет). Свои комментарии - в квадратных скобках.
"К основным формам мвшления относятся понятия, суждения и умозаключения... Понятия лежат в основе рассуждения. Отношения между ними образуют суждения, а определенные отношения между суждениями - умозаключениями" [то есть "автор" и "право" - понятия. "Каждый автор имеет авторское право" и "Я- автор" - суждения. "Каждый автор имеет авторское право, я -автор, следовательно, я имею авторское право... - умозаключение; "точка" и "прямая" - понятия; "через две точки можно провести прямую" - суждение и т.д.]
"Суждение - это форма мышления, в которой отражаются отношения между предметами и их признаками посредством утверждения или отрицания. Из этого определения видно, что суждение как форма мышления отличается от понятия...Суждение придает человеческой мысли законченную форму, где может быть непосредственно выражена истинность или ложность нашего высказывания.  Такая структура суждения и его познавательная функция не могут быть полностью выражены в языке с помощью лишь слова или группы слов, как это происходит с понятием. Суждение как форма мышления в языке закрепляется и передается другим людям с помощью предложения. Например, слово "Ленинград" выражает понятие, а если высказываемтся предложение - "Ленинград- город-герой", то в этом предложении уже выражается мысль в форме логического суждения... Предложение по отношению к суждени является его своеобразной материальной оболочкой, а суждение составляет идеальную, смысловую сторону предложения". [Улавливаете? Суждение - это форма, с помощью которой мы можем установить отношения между понятиями - например, между понятием точки и прямой. Любое утверждение или отрицание будет суждением. Любое законченное предложение содержит суждение. В этом случае с логической точки зрения оно становится "высказыванием"].
"Высказыванием называют предложение, выражающее суждение... Истинность и ложность называют логическими, или истинностными, значениями высказываний. Если высказывание истинно, то говорят, что оно имеет логическое значение истина, а если высказывание ложно, то говорят, что оно имеет логическое значение ложь"   [Довольно четко написано. Надеюсь, теперь Вы не будете употреблять "истина" и "ложь" по отношению к понятиям. И еще один важный момент: логика не знает понятий "субъективно" и "объективно", которые Вы попытались приклеить в последнем письме. Для логики имеет значение только истинно или ложно высказывание. "Субъективность" и "объективность" уже ничего не прибавляют к этой характеристике]
[Определения]

"Определение представляет собой суждение, посредством которого раскрывается содержание понятий" [Видите, каждое определение - это суждение]

"Распространенным видом дефиниции [дефинициями в логике называются определения в собственном смысле] является определение через указание рода и видового отличия. Формой этого вида определения является суждение, в котором субъект и предикат имеют одно и то же содержание" [я специально выбрал этот вид определения, поскольку он охватывает подавляющее большинство определений, используемых в математике, физике, правоведении и т.п. пример:] "Определение окружности: "Окружность есть замкнутая кривая, образовання движением на плоскости точки, cохраняющей одинаковое расстояние от центра".

[теперь переходим к аксиоматическим теориям]

"Формальное доказательство широко используется в аксиоматических теориях, т.е. в таких теориях, в которых из небольшого числа начальных истинных утверждений (аксиом) [видите - утверждений, а не понятий или фактов] выводятся все остальные истинные утверждения".

"В отличие от аксиом, доказываемые утверждения теории называют теоремами. Итак, никаких других утверждений, кроме аксиом и теорем, асиоматизировання теория не содержит"

[Кроме того, аксиоматизированные теории имеют определенную струкутуру используемых понятий, чтобы избежать определения через определяемое - где то у Вас это проскальзывало] "В достаточно равитой научной теории всегда можно найти группу понятий, которые имспользуются для определения других понятий этой теории. Это так называемые фундаментальные понятия данной теории, значение которых полагается известным и в данной теории не требующим определений. Например, в механике Ньютона таким понятием будет понятие силы, в геометрии Эвклида  - понятия точки, прямой, плоскости. В дедуктивных теориях они называются первичными понятиями теории". [Теперь, я думаю, у Вас больше не будет путаницы с понятиями, суждениями, утверждениями и т.п.]

Все это (или что-то из этого) может показаться Вам достаточно сложным, поэтому настоятельно советую почитать какой-нибудь учебник по логике, прежде чем продолжать дальнейшее обсуждение (чтобы потом не тратить время на бессмысленное обсуждение известных вопросов, например, тех же законов де Моргана). Но Вы говорили, что когда-то занимались математикой - тогда табличное построение логики высказываний, формулы логики высказываний, формализованная силлогистика и т.п. должны быть Вам близки.  Другие участники дискуссии, вероятно, все это хорошо помнят из кура логики.

С пожеланиями успеха

Виталий

[Urix]

учебник по логике для философского факультета

Я опираюсь на формальную логику.

К основным формам мвшления относятся понятия, суждения и умозаключения...

В которой нет перечисленного Вами, а есть аксиомы и теоремы. Логические операции задаются так же аксиоматически на основе аксиом.

Понятия лежат в основе рассуждения

Аксиомы лежат в основе логических построений теорем. В том числе и три аксиомы формальной логики: если А то B и если B то C, тогда если A то C. И т.д.

Суждение - это форма, с помощью которой мы можем установить отношения между понятиями - например, между понятием точки и прямой

Это нельзя сделать по принципмальным соображениям: и понятие точки и понятие прямой являются аксиомами в Гилбертовом и Эвклидовом пространствах. Но они могут не быть аксиомами в каких-то других системах.

Надеюсь, теперь Вы не будете употреблять "истина" и "ложь" по отношению к понятиям. И еще один важный момент: логика не знает понятий "субъективно" и "объективно", которые Вы попытались приклеить в последнем письме

Вот видите, Вы привели прекрасный пример системы неформальной логики, а я - системы формальной. Различие небольшое: в формальной логике третью аксиому формальной логики всегда считают справедливой, а в неформальной логике - ложной. Как следствие - мы имеем две различные логические системы, которые построены на различных аксиомах. Но, не смотря на это, для обеих этих систем теорема Гёделя всегда справедлива.

Для логики имеет значение только истинно или ложно высказывание. "Субъективность" и "объективность" уже ничего не прибавляют к этой характеристике

И плоская Земля и сферическая всегда являются истинами для остальных высказываний для двух различных систем описания мира. Но со временем истинность плоской Земли была опровергнута. В рамках же самой системы мироздания на трех китах сделать это невозможно, поскольку предположение о плоскости Земли лежит в ее основе.

[Виталий К.]

Должен извиниться, конечно я пропустил в названии учебника слово "формальная". Все, что сказано выше - о формальной логике. А вот Ваша логика - иная, чем формальная.

>>К основным формам мвшления относятся понятия, >>суждения и умозаключения...

>В которой нет перечисленного Вами, а есть аксиомы и >теоремы. Логические операции задаются так же >аксиоматически на основе аксиом.

Это Вы про что? К чему относится "которой" к мышлению? к суждению? к умозаключению? Не вижу смысла в Вашей фразе. Поясните, плиз.

>Понятия лежат в основе рассуждения
>Аксиомы лежат в основе логических построений теорем.
Не вводите новых понятий. Рассуждение - это из другой области (уточните). По поводу соотношения теорем и аксиом см. предыдущее письмо. "Логическое построение теорем" - некорректно, Вы имеете в виду структуру теоремы как суждения (субъект, предикат, связка) или систему теорем?

>>Суждение - это форма, с помощью которой мы можем >>установить отношения между понятиями - например, >>между понятием точки и прямой
>Это нельзя сделать по принципмальным соображениям: и >понятие точки и понятие прямой являются аксиомами в >Гилбертовом и Эвклидовом пространствах.
Опять начинаете выдумывать. Список аксиом общеизвестен - я предлагал его Вам привести, хотя бы в отношении Эвклидовой геометрии и даже начал его, но Вы предпочитаете уходить от конкретных доводов. Нет там аксиомы понятия точки. Давайте сделаем так. Если я ошибаюсь (я ведь не математик, мало ли чего не знаю, да и забыл многое со школы), то как Вы приведете список аксиом Эвклида (три из которых я указал) в которых будет аксиома понятия точки, то сразу моя ошибка и будет очевидна и я обещаю признать это ("да, в геометрии Эвклида есть аксиома понятия точки"). А если нет - то Вы кончаете выдумывать (естественно, в предыдущем варианте я признаю, что Вы ничего не выдумывали) и займитесь делом - что -то я Ваших ответов не видел в ветке, которую открыл.

>Вот видите, Вы привели прекрасный пример системы >неформальной логики, а я - системы формальной. Различие >небольшое: в формальной логике третью аксиому >формальной логики всегда считают справедливой, а в >неформальной логике - ложной. Как следствие - мы имеем >две различные логические системы, которые построены на >различных аксиомах. Но, не смотря на это, для обеих этих >систем теорема Гёделя всегда справедлива.

См. выше. все что там говорилось - пример из формальной логики (и не мой). А вот Вы явно про какую-то другую логику пишите.

[yuriyah]

Urix, признайтесь, Вы разыгрываете участников форума?
То, что Виталий описал, и есть ф о р м а л ь н а я логика.
Со всеми понятиями, суждениями и умозаключениями. То, что описываете Вы, это теория, построенная на формальной логике.
Понятие действительно не требует доказательства, но не потому, что оно аксиома, а потому, что его невозможно доказать или опровергнуть.
Аксиома же - это не просто принимаемое за истину без доказательства положение, это положение, верное в данных условиях для любой ситуации, которую можно представить.
Понятие не может быть верным или неверным. Верно ли "карандаш"? Или "точка"? Или "смысл"?
Правда, нелепо?
Истинным или ложным может быть лишь суждение или умозаключение. Даже увидев перед собой предмет и описав его "Это карандаш", мы получаем истинное суждение, но не понятие.

[Urix]

Не вводите новых понятий. Рассуждение - это из другой области (уточните).

Это я Вас процитировал. Вернее, проитировал приведенную Вами цитату.

Опять начинаете выдумывать. Список аксиом общеизвестен

Вот в том-то и дело, что список аксиом можно задать любой. И в зависимости от выбранного набора получается новая система высказываний. Виталий! Вы с математиками-алгебраистами на эту тему поговорите.

Виталий! Вы пользуетесь теми представлениями о логике, которые сложились в первой половине XIX века (Рене Декарт), я же Вам предлагаю воспользоваться теми представлениями, которые сложились веком позже в первой половине XX века (Гёдель).

что -то я Ваших ответов не видел в ветке, которую открыл.

Я пока еще не дошел до конца своих высказываний. У меня уже готовы 1.2.1 и 1.2.2. Посмотрите их хотя бы.

[Dust]

По поводу всего этого я высказался выше, хочу заметить, что мы спорим-спорим, а так и не сдвинулись вперёд, даже немного.

[Виталий К.]

Уважаемый Urix,

Рад, что у нас количество разногласий сокращается.

>Вот в том-то и дело, что список аксиом можно задать >любой. И в зависимости от выбранного набора получается >новая система высказываний. Виталий! Вы с математиками->алгебраистами на эту тему поговорите.

Естественно, что свою теорию Вы можете строить на любых положениях, которые считаете истинными. Но это будет Ваша геометрия, а не геометрия Эвклида. Процитирую Вас же: "В геометрии Эвклида их 5, в пространстве Гилберта - 26.". Это Вы про аксиомы в одном из предыдущих писем. Значит, на той неделе Вы считали, что в геометрии Эвклида всего пять аксиом, а сегодня - список может быть любым (и 10 и 125)?

>Виталий! Вы пользуетесь теми представлениями о логике, >которые сложились в первой половине XIX века (Рене >Декарт), я же Вам предлагаю воспользоваться теми >представлениями, которые сложились веком позже в >первой половине XX века (Гёдель).

Я пользуюсь не представлениями о логике, а ее положениями, по состоянию на конец XX века. По поводу Геделя - я действительно не слишком знаком с его творчеством, но из того, что Вы процитировали пока не следует, что понятия и аксиомы это одно и то же. Поймите, я оспариваю Вашу позицию не потому, что больше делать нечего, а потому, что как Вы верно заметили - это принципиальные вопросы в отношении построения концепции - чем будем считать понятия.

>Я пока еще не дошел до конца своих высказываний. У меня >уже готовы 1.2.1 и 1.2.2. Посмотрите их хотя бы.

Признаю свою вину. Сейчас загляну

[Urix]

Значит, на той неделе Вы считали, что в геометрии Эвклида всего пять аксиом, а сегодня - список может быть любым (и 10 и 125)?

Конечно! Но тогда это уже будет не геометрия Эвклида. Хотя это и будет система высказываний, непротиволречивая по отношению к заданным аксиомам.

Поймите, я оспариваю Вашу позицию не потому, что больше делать нечего, а потому, что как Вы верно заметили - это принципиальные вопросы в отношении построения концепции - чем будем считать понятия.

Аксиомами. Вопрос выбора этих аксиом. Поэтому я и начал разговор с аксиом, а не сразу с автомата и интеллекта и информации.

по состоянию на конец XX века

Рене Декарт жил несколько раньше. Это сформулированная Декартом стойная на то время математическая логика, как система. Но и математика и логика не стоят на месте. Гёдель доказал свою теорему где-то в 1923-1925 годах (не помню точно).