Просто Вы указали, что в их составе есть аксиома определения точки и аксиома определения прямой - вот я и предлагаю Вам их найти среди этих пяти аксиом.
Три первые аксиомы (у Эвклида они называются постулаты) задают объекты: точка, прямая, плоскость. Именно задают, никак их не определяя. Вернее, данное в постулате определение принимается за аксиому. Позже, с появлением теории множеств, появилась возможность более точно определеить понятие точки. Вернее, опять в виде аксиомы: что существует некий абстрактный объект точка. И с ней связаны следующие свойства (операции или действия)... Это уже из Гилберта.
Логика - составная часть философии
Философия - гуманитарная наука. Математика - точная наука. Поэтому определения для философов (гуманитариев) написаны так, что бы у них "крыша не ехала" от математических высказываний. У математики свой язык. Поэтому, приведенные Вами определения - это трансляция с языка математики на язык философии аксиом и теорем логики. В том виде, в котором Вы их привели - они были сделаны в конце XX века. Но сами эти аксиомы и теоремы на математическом языке били сформулированы и объеденины в единое непротиворечивое целое (формальную логику) в XIX веке.
могу ли я предположить, что говоря об аксиомах (в Вашей терминологии) применительно к понятиям Вы имеете в виду "фундаментальные понятия" (в терминологии, указанной мной), то есть понятия, даваемые без определения?
В принципе - да. Но понятие аксиомы шире. Аксиомой для некоторой системы высказываний может являться так же высказывание. Например, пятый постулат о параллельности прямых можно изложить в трех вариантах: через точку лежащую вне прямой
1. нельзя провести прямой, не пересекающей данную
2. можно провести только одну прямую непересекающую данную
3. можно провести несколько прямых не пересекающих данную.
Получается три различные системы высказываний. Три геометрии, из которых 2-я является геометрией Эвклида, 3-я геометрией Лобачевского-Римана.
В данном случае используется не фундаментальный факт, а предположение или высказывание. Если три первых постулата - это определения, то пятаый постулат уже предположение. Но все они являются, исходя из следствий теоремы Гёделя, аксиомами. Т.е.
высказываниями, истинность которых принимается без доказательства. Даже если они противоречат Природе.
Конечная цель поиска правильных аксиом - это создание такого описания окружающего нас мира, которое не противоречит описываемому этому миру. С точки же зрения абстрактной теории систем высказываний, любая аксиома - это всегда истина. И построенная на основе аксиомы система высказываний всегда непротиворечива как система. Однако, если какое-то построение в полученной системе высказываний будет противоречить окружающему миру, то мы тут же скажем: "СТОП! Рассуждения противоречат действительности. Причина - неверно выбранная аксиома". Но какая аксиома из множества неверна, можно выяснить только построив еще одну систему высказываний, содержащую некоторое подмножество аксиом из исходного множества по противоречивости/непротиворечивости новой системы высказываний окружающему миру. Это один из способов уточнения Знания. Прямое построение всегда справедливо, а вот обратное построение - нет. Об этом см. ниже.
такой закон есть
Извините, Виталий. Я не спрашивал,
какой закон содержит эту норму, я спрашивал,
ссылку на какой закон содержит в себе эта норма.
Т.е., я спрашивал: если множество А содержит в себе элемент В, то можно ли по элементу В сказать, что его обязательно должно содержать множество А. Иначе, если справедливо высказывание, что у Вас есть портмоне и в нем лежат деньги, то справедливо ли высказывание, что если у Вас есть деньги, то они обязательно находятся в портмоне. Что всякая селедка - рыба, но не всякая рыба - селедка.
Т.е., я подразумевал, что если справедливо прямое высказывание (прямой вывод), то не всегда справедливо обратное (обратный вывод).
